同じ数の足し算を繰り返したものが掛け算です
\[ \underbrace{3+ \cdots +3}_{n個}=3 \times n \]
同じ数の掛け算を繰り返したものが累乗(冪乗)です
矢印*1を用いても表記されます。
\[ \underbrace{3 \times \cdots \times 3}_{n個}=3^n = 3 \uparrow n\]
冪乗を繰り返したものも同様に定義できます
\[ \underbrace{3^{3^{\cdotp ^{\cdotp ^{\cdotp ^{3}}}}}}_{n個} = \underbrace{3 \uparrow 3 \cdots 3 \uparrow 3}_{n個} = 3 \uparrow \uparrow n\]
これを繰り返したものも同様に定義できます
\[ \underbrace{3 \uparrow \uparrow 3 \cdots 3 \uparrow \uparrow 3}_{n個}=3 \uparrow \uparrow \uparrow n \]
以下同様に、矢印演算子を定義できます
矢印が何本あるかをmで表すことにします
\[ \underbrace{3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow}_{m - 1 個} 3 \cdots 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow}_{m - 1 個} 3 }_{n個} = 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow}_{m個} n = 3 \uparrow ^m n \]
さて、ここからは3を起点として考えましょう
そのために次のような関数を定義します
\[ G(x) = 3 \uparrow ^x 3\]
これは矢印の本数が変数となる関数です
具体例を挙げると、
\[ G(1)=3 \uparrow 3 = 3^3 =27 \\ G(2)=3 \uparrow \uparrow 3 = 3^{3^3} = 7625597484987 \]
このようになります*2
そしてグラハム数$G$は$G(x)$を用いて以下のように表される数です
\[ G = G^{64}(4) = \underbrace{G(G( \cdots (G}_{64} (4)) \cdots ))\]
シンプルな表記ですね！もしかしたらグラハム数って思ったより想像のつく数なのかも…？
では$G(x)$を全て矢印表記に直してみましょう！
\[ \left. \begin{array}{ccc} & & \\ & & \\ & & \\ G & = & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 個 \\ & & 3 \uparrow ^4 3 個 \end{array} \right\}64層 \]
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私から言えることがあるとすれば、「グラハム数は全宇宙の全物質をインクに変えても十進法で書けない」と言われていますが、実際には$G(3)$すら書けない*3ということです
二重矢印を$G(3) - 1$回計算したものが$G(4)$であり、その$G(4)$個の矢印計算個の矢印計算個の…矢印計算個の矢印計算を64層分計算するのがグラハム数です。なにこれ？
鋭い人はお気づきかもしれませんが、「グラハム数回、演算を繰り返す」ことによりグラハム数より大きい数を表すことが可能です*4。グラハム数はあくまで「数学の証明に使われた数*5」の中で最大であるだけです。
